برای بدست آوردن تابع سری کسینوسی فوریه برای تابع \( f(x) = e^x \) در بازه \( 0 < x < 1 \)، ابتدا باید تابع را به یک تابع زوج در بازه \( -1 < x < 1 \) توسعه دهیم. سپس می‌توانیم ضرایب سری کسینوسی فوریه را محاسبه کنیم.

یک تابع زوج به شکل \( g(x) \) داریم که:

\[ g(x) = \left\{

  \begin{array}{lr}

    e^x & : 0 \leq x \leq 1\\

    e^{-x} & : -1 \leq x < 0

  \end{array}

\right. \]

ضرایب \( A_k \) در سری کسینوسی فوریه توسط انتگرال زیر مشخص می‌شوند:

\[ A_k = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \cos\left(\frac{k\pi x}{L}\right) dx \]

که \( L \) نصف دوره تناوب است و در این مورد \( L = 1 \).

بنابراین، ضرایب \( A_k \) به شکل زیر محاسبه می‌شوند:

\[ A_0 = 2 \int_0^1 e^x dx \]

\[ A_k = 2 \int_0^1 e^x \cos(k\pi x) dx \quad \text{برای} \quad k \geq 1 \]

برای محاسبه \( A_0 \)، می‌توانیم انتگرال مستقیم را حل کنیم:

\[ A_0 = 2 \left[ e^x \right]_0^1 = 2(e – 1) \]

برای ضرایب \( A_k \)، از آنجایی که حاصلضرب \( e^x \) و \( \cos(k\pi x) \) یک تابع پیچیده برای انتگرال‌گیری مستقیم است، معمولاً از انتگرال‌گیری به کمک قسمت‌های حقیقی و موهومی استفاده می‌کنیم یا از فرمول‌های انتگرال‌گیری محاسباتی. این امر ممکن است به استفاده از انتگراسیون با قسمت‌ها یا فرمول‌های تکراری نیاز داشته باشد.

توجه داشته باشید که حل انتگرال برای ضرایب \( A_k \) ممکن است به روش‌های مختلف انتگرال‌گیری یا حتی استفاده از نرم‌افزارهای ریاضیاتی نیاز داشته باشد. ایجاد یک سری کسینوسی فوریه کامل منوط به محاسبه دقیق هر \( A_k \) می‌باشد.